环球微速讯：用二元泰勒公式求解2023强基联盟2月比大小选择题

2023-03-16 00:11:29 来源：哔哩哔哩

泰勒公式是一种基于微积分推导出来的近似计算的方法。泰勒公式的方便之处在于，它可以把原函数在估值点附近展开为一系列由原函数值、原函数导数的值还有系数的累加。泰勒公式不光可以应用在一元函数的估值问题上，还可以应用于二元函数的估值问题。关于一元和二元的泰勒公式的描述请看这条动态。

本来像0.98的2.03次方这种数的估值，是大学基础数学课程《微积分》的下册的内容，是大一下学期才会教的。高考要是考这种问题，那是非常非常不合适的。但是谁也不能保证高考出题者不会在2022年新课标1卷比大小问题的基础上把题目难度更进一步。所以我在刷视频的时候发现2023年强基联盟出的题就涉及到了这种本质上属于二元函数估值的问题：

2.1的0.9次方，还有1.9的1.1次方，本质上就是函数f(x,y)=x^y在(2.1,0.9)和(1.9,1.1)处的函数值。这两个值是无法直接计算的，只能借助计算器。但考场上不允许使用计算器，所以我们用二元函数的泰勒公式进行估算。

【资料图】

二元函数f(x,y)如果要计算在任意(x1,y1)处的函数值，可以把函数在(x1,y1)附近的(x0,y0)处进行泰勒展开，得到一个可以直接计算的近似展开式。要求|x1-x0|<1且|y1-y0|<1，否则待求点的展开式的值误差太大，估值效果不可接受。事实上，在(x0,y0)附近的满足|x-x0|<1且|y-y0|<1的任何(x,y)值都可用。二元函数f(x,y)在(x0,y0)处展开的泰勒公式可近似写作：

f(x,y)≈f(x0,y0)+(fx)'(x0,y0)(x-x0)+(fy)'(x0,y0)(y-y0)

其中(fx)'(x,y)和(fy)'(x,y)分别是二元函数关于x和y的偏导数。所谓偏导数，就是二元函数f(x,y)只关于x或只关于y的导函数，求导的时候把另一个变量看做常数。具体到f(x,y)=x^y这个函数，则它的偏导数分别为：

(fx)'(x,y)=yx^(y-1)

(fy)'(x,y)=x^y*ln(x)

则把f(x,y)在(2,1)附近展开时(其实就是x0=2，y0=1)：

f(x,y)≈f(2,1)+(fx)'(2,1)(x-2)+(fy)'(2,1)(y-1)=2^1+1*2^(1-1)*(x-2)+2^1*ln(2)*(y-1)=2+(x-2)+2ln(2)(y-1)

把待求的(2.1,0.9)和(1.9,1.1)带入f(x,y)可得：

f(1.9,1.1)≈2+(1.9-2)+2ln(2)(1.1-1)=2-0.1+0.2ln(2)=2+0.2(ln(2)-0.5)f(2.1,0.9)≈2+(2.1-2)+2ln(2)(0.9-1)=2+0.1-0.2ln(2)=2+0.2(0.5-ln(2))

这里涉及到ln(2)跟0.5的大小比较。如果没记过ln(2)的值也没关系（我就不记得）。只需要记得e≈2.718即可。有ln(e^(0.5))=0.5，已知ln(x)在(0,+∞)上单调递增，则要比较e^(0.5)与2的大小，可两边取平方比较，得到e<2^2=4，所以e^(0.5)<2，所以0.5=ln(e^(0.5))<ln(2)。

所以有：

f(1.9,1.1)≈2+0.2(ln(2)-0.5)>2+0.2*0=2f(2.1,0.9)≈2+0.2(0.5-ln(2))<2+0.2*0=2所以有：2.1^0.9<2<1.9^1.1。故c>a>c，此题选A。

说句题外话：高考要是考这种东西，还不如堂堂正正把一元函数和二元函数的泰勒公式在高中课堂讲了，反正单看计算过程和结论只用到导数就可以了。又不教，又要考，除了出题的脑子瓦特了，我想不出第二种解释。

关键词：